Лекция 12.

Функции распределения Максвелла-Больцмана, Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака.

Постулаты статистики позволили определить критерий, с помощью которого удается не только отличать друг от друга функции распределения по энергии r(e) для данного ансамбля, но и найти общий вид этой функции. Если канонический ансамбль Гиббса состоит из М систем с общей энергией Е, то знание закона распределения в фазовом пространстве позволяет вычислить число систем М_i каждая из которых обладает энергией e_i.

Для нахождения r(e) Больцман предложил разделить Г-пространство на некоторое число ячеек g и сгруппировал ячейки по величине, отвечающей им энергий. Тогда вероятность найти систему в состоянии с энергией e_i:  при этом выполняется условие замкнутости ансамбля:

 

 

Разбиение Г-пространства на ячейки с постоянной энергией позволяет естественно перейти в статистике от классического к квантово-механическому описанию системы.

Есть три класса систем, соответствующих трем различным способам заполнения уровней энергии в Г-пространстве. В результате этого появляются три различных функции распределения: Максвелла-Больцмана, Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака. Отличия связаны с природой изучаемых систем, которые классифицируются по трем основным признакам:

1.     по различимости или неразличимости частиц

2.     по различимости ячеек в фазовом пространстве, отвечающих данному значению Е

3.     по наличию ограничений, налагаемых на заполнение отдельных ячеек данного уровня Е.

В классической механике все частицы считаются различимыми и нет ограничений на заполнение отдельных ячеек в фазовом пространстве. Свойства подобного ансамбля классических систем описывается распределением Максвелла-Больцмана: ,

Бозе-Эйнштейна:  и

Ферми-Дирака: ;

g_i – неразличимые ячейки уровня энергии Е; M_i – число систем в каждой группе с энергией e_i; константы a и b в принципе одинаковы и их легче всего найти распределения Максвелла-Больцмана:; .

Для различимых частиц в системе Максвелла-Больцмана М соответствует N частиц и M_i соответствует N_i: , , где .

Множитель Больцмана  является основной величиной для молекулярной системы, находящейся в равновесии.

Закон Больцмана: .

Для молекулярных систем, находящихся в равновесии число молекул, обладающих энергией e_i, пропорционально множителю Больцмана . Величина  - молекулярная сумма по состояниям, суммирование распространяется на все возможные энергетические состояния молекулы: z ≡ Q. Молекулярная сумма по состояниям можно рассматривать как обобщенный множитель Больцмана, характеризующий полное число молекул данного вида в системе. Сумма по состояниям не имеет размерности, она помогает описать в удобной математической форме распределение энергии между молекулами в системе и служит статистической характеристикой функции.