Лекция 13.

Функция по состояниям в классической и квантовой статистике. Большая сумма по состояниям.

Оглавление

Функция по состояниям

Введем более широкое понятие суммы по состояниям. При рассмотрении состояния системы в целом, как функции состояния составляющих ее частиц, необходимо различать два случая: различимость и неразличимость частиц.

Различимые частицы обладают определенными характеристиками каждая; неразличимые – это группы частиц, в которых характеристики частиц не отличаются друг от друга, в этом случае свойства системы зависят только от числа частиц, распределенных в эти группы.

1. Различимые частицы составляют систему Максвелла-Больцмана, в которой состояние системы в целом характеризуется указанием состояния каждой из N одинаковых частиц. Если обозначить индексами i₁, i₂, i₃, …i_N состояния N индивидуальных частиц, то при отсутствии взаимодействия между ними энергия системы запишется как . Сумма по состояниям: , где e_i – энергетическое состояние каждой молекулы, Q – сумма по состояния одной молекулы (молекулярная сумма по состояниям).

При учете вырождения (статистического веса) сумма по состояния z запишется в виде: , где g_i – число уровней, обладающих одинаковой энергией. Это выражения является суммой по состояния системы Максвелла-Больцмана, состоящей из N различимых частиц, не взаимодействующих между собой.

2. Неразличимые частицы составляют газы типа Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака. Рассмотрим газ, состояние которого определяется просто указанием числа частиц, находящихся в возможных различимых состояниях. Такой способ рассмотрения указывает на возможность существования особых состояний системы в целом, которые называются вырожденными. Вырождение этого типа проявляется при низких температурах и высоких давлениях и тем легче, чем меньше масса частиц. Оно ведет к тому, что при Т®0, . Этот тип вырождения рассматривается в квантовой статистике.

Рассмотрим разряженный газ из N невзаимодействующих частиц, каждая из которых может находиться в общих для всех частиц состояниях: e_k,e_l,e_m. Обозначим числа молекул в этих состояниях N_k,N_l,N_m, тогда энергию системы из N молекул Е_N= e₁ + e₂ + e₃ можно получить способами, просто подставляя индексы от 1 до N у e_i. В соответствии с суммой по состояниям идеального газа, состоящего из N неразличимых элементов .

Применение данного выражения возможно в двух случаях:

1. суммирование выполняется по всем возможным значениям энергии от e₁ до e_N в статистике Бозе-Эйнштейна, разработанной Бозе для световых квантов и распространенной Эйнштейном на молекулы и газы.

2. применяется принцип Паули, согласно которому исключаются члены, в которых два или большее число значений энергии e_i (i = 1,2…N) относятся к одному и тому же состоянию, тогда говорят о статистике Ферми-Дирака, разработанной для электронного газа.

Выражение z можно упростить, применяя его к газу при высокой температуре и большом объеме. При большом числе энергетических состояний можно допустить, что на каждый из них приходиться не более одной молекулы, тогда N_k,! N_l,! N_m!...= 1 и или с учетом вырождения .

Сравнивая выражения z в статистике Максвелла-Больцмана и выражение z в статистике Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака, видим, что выражения отличаются только множителем . Обычно при расчетах пользуются ln z = N ln Q – ln N! , где по Стирлингу ln N! = N ln N – N + ½ ln 2p N , тогда ln z = N ln Q – N ln N + N - ½ ln 2p N = N (ln Q – ln N + 1) – ln 2p N , при N®¥ ln z = N ln() – сумма по состояниям z в отличии от молекулярной суммы по состояниям называется большой суммой по состояниям.

Распределение Максвелла по скоростям.

На основе закона Бозе, примененного к одноатомному идеальному газу для поступательного движения частиц вдоль координаты x, вероятность обладания скоростью, лежащей в пределах и - закон распределения молекул по скоростям при одномерном движении.

На основании вычисления средних значений средняя скорость движения молекул в одном направлении будет равна или . При движении в трехмерном пространстве вероятность обладания скоростью вдоль направления при будет равна произведению трех одинаковых вероятностей вида - уравнение Максвелла для распределения молекул по скоростям. Графически функция распределения Максвелла выражается:

Максимум этой функции соответствует наиболее вероятной скорости движения молекул.

Средняя скорость будет равна

Средняя квадратичная скорость равна: , т.к. при получаем более компактное выражение для расчета параметров кинетической теории газов:

, , ,